Question

【题目】已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（ ）（注：e为自然对数的底数）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（0，1）
C.（0，1）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根据题意，设F（x）=ex（f（x）﹣1），则F'（x）=ex[f（x）+f'（x）﹣1]，

因为ex＞0，由已知可得，F'（x）＜0，即函数F'（x）是单调减函数，F（1）=e，

故f（x）﹣1＜e1﹣x，即F（x）＜F（1），

则有x＞1；

即不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（1，+∞）；

故选：A．

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．