Question

15．已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通项公式分别为：a_n=n，b_n=n（n+1），c_n=n（n+1）（n+2），数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S₁（n），S₂（n），观察下表：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	…
an	1	2	3	4	5	6	7	8	…
S1（n）	1	3	6	10	15	21	28	36	…
bn	2	6	12	20	30	42	56	72	…

发现S₁（n）=$\frac{1}{2}$b_n，并可用下面方法证明：
因为a_k=k=$\frac{1}{2}[k（k+1）-（k-1）k]$，k=1，2，…n，
所以S₁（n）=a₁+a₂+…a_n=1+2+…+n=$\frac{1}{2}{（1×2-0×1）+（2×3-1×2）…+[n（n+1）-（n-1）n]}$=$\frac{1}{2}n（n+1）=\frac{1}{2}{b}_{n}$．
（1）指出S₂（n）与c_n的关系，并类比上面方法证明你的结论；
（2）求和T_n=1²+2²+…+n²．

Answer 1

分析 （1）根据题意利用类比推理列出表格，根据表格中的数据猜想S₂（n）=$\frac{1}{3}$c_n，类比推理可得b_k=k（k+1）=$\frac{1}{3}$[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，利用裂项相消法求出
S₂（n），即可证明出结论；
（2）根据（1）的结论利用分组求和法和等差数列的前n项和公式求出T_n=1²+2²+…+n²．

解答 解：（1）由题意列出表格如下：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	…
bn	2	6	12	20	30	42	56	72	…
S2（n）	2	8	20	40	70	112	168	240	…
cn	6	24	60	120	210	336	504	720	…

由表格中的数据猜想S₂（n）=$\frac{1}{3}$c_n，
∵b_n=n（n+1），c_n=n（n+1）（n+2），∴类比推理可得b_k=k（k+1）=$\frac{1}{3}$[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，
∴S₂（n）=$\frac{1}{3}${（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+…+[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]}
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{3}$c_n；
（2）由（1）可得，b_n=n（n+1）=n²+n，
∴S₂（n）=1²+2²+…+n²+（1+2+…+n）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），
∴T_n=1²+2²+…+n²=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）-$\frac{1}{2}n（1+n）$
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查类比推理的应用，等差数列的前n项和公式，以及分组求和法、裂项相消法的应用，题目新颖，考查较强的分析、解决问题的能力．