Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b-$\frac{1}{2}$c=acosC，a=2
（1）求$\frac{c}{sinC}$的值；
（2）若b+c=bc，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得cosAsinC-$\frac{1}{2}$sinC=0，结合范围sinC≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，进而可求A=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理即可得解．
（2）由余弦定理可得（b+c）²-3bc=4，结合b+c=bc，可求（bc）²-3bc-4=0，解得bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：sinB-$\frac{1}{2}$sinC=sinAcosC，…（2分）
∵sinB=sin（A+C），
∴cosAsinC-$\frac{1}{2}$sinC=0，
又sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，由A为内角，可得：A=$\frac{π}{3}$，…（6分）
∴$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…（7分）
（2）由a²=b²+c²-2bccosA，得：b²+c²-bc=4，…（9分）
∴（b+c）²-3bc=4，
∵b+c=bc，
∴（bc）²-3bc-4=0，
∴bc=4，…（11分）
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$． …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．