Question

9．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面PAB即可证明BC⊥AD；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程解方程即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC…..…．（3分）
又由图甲知BC⊥BA，PA∩BA=A，
∴BC⊥平面PAB，
又AD?平面PAB，∴BC⊥AD．…..…．（6分）
（Ⅱ）解：如图所示，以点A为坐标原点，分别以射线AC，AP为x，z轴，
以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系．
则$A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），B（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，$D（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}，1）$，$\overrightarrow{AD}=（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}，1）$，
$\overrightarrow{PC}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
若存在点E，设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}=（2λ，0，-2λ）$，（0≤λ≤1），
则$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}=（2λ，0，2-2λ）$，…..…．（8分）
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}y+z=0}\\{2λx+（2-2λ）z=0}\end{array}}\right.$
令z=λ，则$x=λ-1，y=\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}}$，故$\overrightarrow m=（λ-1，\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}}，λ）$
平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），…..…（10分），
$|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{λ}{{\sqrt{{{（{λ-1}）}^2}+{{（\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}}）}^2}+{λ^2}}×1}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴存在点E，且点E为棱PC的中点．（12分）

点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解，利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．