分析 (Ⅰ)根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面PAB即可证明BC⊥AD;
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法建立方程解方程即可.
解答 (Ⅰ)证明:∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,
∴PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC…..….(3分)
又由图甲知BC⊥BA,PA∩BA=A,
∴BC⊥平面PAB,
又AD?平面PAB,∴BC⊥AD.…..….(6分)
(Ⅱ)解:如图所示,以点A为坐标原点,分别以射线AC,AP为x,z轴,
以垂直平面APC向外方向为y轴建立空间直角坐标系.
则$A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,0,0),B(\frac{3}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2},0)$,$D(\frac{3}{4},\frac{{\sqrt{3}}}{4},1)$,$\overrightarrow{AD}=(\frac{3}{4},\frac{{\sqrt{3}}}{4},1)$,
$\overrightarrow{PC}=(2,0,-2)$,$\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$,
若存在点E,设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}=(2λ,0,-2λ)$,(0≤λ≤1),
则$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}=(2λ,0,2-2λ)$,…..….(8分)
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow m=(x,y,z)$,
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.$,即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}y+z=0}\\{2λx+(2-2λ)z=0}\end{array}}\right.$
令z=λ,则$x=λ-1,y=\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}}$,故$\overrightarrow m=(λ-1,\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}},λ)$
平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=(0,0,1),…..…(10分),
$|{cos<\overrightarrow m,\overrightarrow n>}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{λ}{{\sqrt{{{({λ-1})}^2}+{{(\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}})}^2}+{λ^2}}×1}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$,
解得$λ=\frac{1}{2}$.
∴存在点E,且点E为棱PC的中点.(12分)
点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解,利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | ②、③都不能为系统抽样 | B. | ②、④都不能为分层抽样 | ||
C. | ①、④都可能为系统抽样 | D. | ①、③都可能为分层抽样 |
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