Question

直角坐标系xoy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A₁，A₂，上、下顶点为B₂，B₁，点P（

3

5

a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A₂B₂，直线PO分别交A₁B₁、A₂B₂于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=

4 21

7

，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F₁、F₂是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F₁RF₂且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A₂B₂，可得KA2B2•K_OP=-1，由此可得a，b的关系式，连同a²=b²+c²可求得e值；
（2）由MN=

4 21

7

可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程；
（3）设R（x₀，y₀），Q（0，t），由题意得cos∠F₁RQ=cos∠F₂RQ，利用向量夹角公式可表示成关于y₀与t的式子，根据y₀的范围即可求得t的范围；

解答：解：（1）因为点P在椭圆上，所以在方程中令x=

3

5

a，得m=

4

5

b，故P（

3a

5

，

4b

5

），
∵PO⊥A₂B₂，∴KA2B2•K_OP=-1，即-

b

a

×

4 5 b

3 5 a

=-1，
∴4b²=3a²=4（a²-c²），∴a²=4c²，∴e=

1

2

①，
故椭圆的离心率为

1

2

；
（2）MN=

4 21

7

=

2

1 a2 + 1 b2

，∴

a2+b2

a2b2

=

7

12

②
联立①②解得，a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（3）由（2）可得F₁（-1，0），F₂（1，0），
设∠F₁RQ=α，∠F₂RQ=β，则cosα=cosβ，
∴

RF 1• RQ

| RF 1|•| RQ |

=

RF2 • RQ

| RF2 |•| RQ |

．
设R（x₀，y₀），Q（0，t），
则

(-1-x0，-y0)(-x0，t-y 0)

(x0+1)2+y02

=

(1-x0，-y0)(-x0，t-y 0)

(x0-1)2+y 02

化简得：t=-

1

3

y₀，
∵0＜y₀＜

3

，t∈（-

3

3

，0）．
故点Q纵坐标的取值范围为：（-

3

3

，0）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．