Question

【题目】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣ ，
∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+ ∴p=4
∴抛物线C的方程为y2=8x
（Ⅱ）由 消去y，得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0
∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，
又 =2，
解得 k=2，或k=﹣1（舍去）
∴k的值为2．
【解析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣ ，根据抛物线的大于可得：4+ ，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得 k2x2﹣（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．