Question

若函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间[a，2a]上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．

解答：解：∵0＜a＜1，
∴f（x）=log_ax是减函数．
∴log_aa=3•log_a2a．
∴log_a2a=

1

3

．
∴1+log_a2=

1

3

．
∴log_a2=-

2

3

．
∴a=

2

4

．
故选A

点评：函数y=a^x和函数y=log_ax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（-x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a^-x和函数y=log_a（-x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．