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已知函数f(x)=
3
sinωxcosωx-cos2ωx+
1
2
(ω>0,x∈R)的最小正周期为
π
2

(1)求f(x)的解析式,并写出函数f(x)图象的对称中心的坐标;
(2)当x∈[
π
3
π
2
]时,设a=2f(x),解不等式loga(x2+x)>loga(x+2)
分析:(1)利用二倍角公式与辅助角公式即可求得f(x)的解析式,从而可写出函数f(x)图象的对称中心的坐标;
(2)根据f(x)=sin(4x-
π
6
),x∈[
π
3
π
2
]时,a=2f(x),求得a∈(0,1)从而可求得不等式loga(x2+x)>loga(x+2)的解集.
解答:解:(1)∵f(x)=
3
2
sin2ωx-
1+cos2ωx
2
+
1
2

=
3
2
sin2ωx-
1
2
cos2ωx
=sin(2ωx-
π
6
).又f(x)的最小正周期为
π
2

=
π
2

∴ω=2,故f(x)=sin(4x-
π
6

∴由4x-
π
6
=kπ得:x=
4
+
π
24
,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称中心的坐标为:(
4
+
π
24
,0)k∈Z,
(2)∵
π
3
≤x≤
π
2

6
≤4x-
π
6
11π
6

∴f(x)=sin(4x-
π
6
)<0.
∴0<a=2f(x)<1.
∵loga(x2+x)>loga(x+2),
∴0<x2+x<x+2,
∴-
2
<x<-1或0<x<
2

当x∈[
π
3
π
2
]时,不等式loga(x2+x)>loga(x+2)的解集为:{x|-
2
<x<-1或0<x<
2
}.
点评:本题考查二倍角公式与辅助角公式,考查正弦函数的对称性与值域,突出考查解对数不等式,注重综合分析与应用能力的考查,属于难题.
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3-x
+
1
x+2
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3-x
+
1
x+2
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x
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