Question

小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如下：

风能分类	一类风区	二类风区
平均风速m/s	8.5--10	6.5--8.5

某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目．调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．
（Ⅰ）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；
（Ⅱ）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目可得，表示的区域如图所示；

（Ⅱ）随机变量ξ的分布列为

ξ	0.4x	-0.2x
P	0.6	0.4

∴Eξ=0.24x-0.08x=0.16x；
随机变量η的分布列为

η	0.35y	-0.1y	0
P	0.6	0.2	0.2

∴Eη=0.21y-0.02y=0.19y；
（Ⅲ）z=Eξ+Eη=0.16x+0.19y
由可得x=y=50
根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值为17.5万元．
分析：（Ⅰ）根据公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目，可得x，y满足的条件，从而可得平面区域；
（Ⅱ）利用未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2，可得随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；
（Ⅲ）利用平面区域，即可求得一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．
点评：本题考查线性规划知识，考查随机变量ξ与η的分布列和期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．