Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点.

（1）求证：直线AB₁⊥平面A₁BD.
（2）求二面角A-A₁D-B正弦值的大小.

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）二面角A-A₁D-B正弦值为.

解析试题分析：（1）建立如下图的空间坐标系，要证直线AB₁⊥平面A₁BD，只需证明
即可.（2）先求出平面A₁AD的一个法向量，再用向量夹角公式求二面角A-A₁D-B正弦值.
试题解析：(1)取BC中点O，连接AO,
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵直棱柱ABC-A₁B₁C1,∴平面ABC⊥平面BCC₁B1且相交于BC,
∴AO⊥平面BCC₁B₁.取B₁C₁中点O₁,则OO₁∥BB₁,∴OO₁⊥BC.
以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A₁(0,2,)A(0,0,),B₁(1,2,0),C(-1,0,0),
∴

∴直线AB₁⊥平面A₁BD.             6分
(2)设平面A₁AD的一个法向量为
n=(x,y,z).
∵
∴令z=1得n=(-,0,1)为平面A₁AD的一个法向量.
由(1)知为平面A₁BD的法向量.
∴
∴二面角A-A₁D-B正弦值的大小为.   12分
考点：空间向量、直线与平面的位置关系.