【题目】已知圆,过点
作直线
交圆
于
两点,分别过
两点作圆的切线,当两条切线相交于点
时,则点
的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】考虑如下问题:已知C:x2+y2=r2(r>0)和点P(a,b).若点P在C内,过P作直线l交C于A. B两点,分别过A. B两点作C的切线,当两条切线相交于点Q时,求点Q的轨迹方程.
圆C:x2+y2=r2的圆心C为(0,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),
因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA.
所以(x1x0)(x10)+(y1y0)(y10)=0,
即x21x0x1+y21y0y1=0,
因为x21+y21=r2,
所以x0x1+y0y1=r2,
同理x0x2+y0y2=r2.
所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=r2.
因直线AB过点(a,b).
所以代入得ax0+by0=r2,
所以点Q的轨迹方程为:ax+by=r2.
结合题意可知,点的轨迹方程为
.
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【题目】如图,在棱台中,
与
分别是棱长为1与2的正三角形,平面
平面
,四边形
为直角梯形,
,
,
为
中点,
(
,
).
(1)设中点为
,
,求证:
平面
;
(2)若到平面
的距离为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】如图,直线与圆
且与椭圆
相交于
两点.
(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长
(2)设直线的斜率分别为
,判断
是否为定值,并说明理由
(3)求,面积的最小值.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨),一位居民的月用水量不超过
的部分按平价收费,超过
的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照
,
,
,
分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)若将频率视为概率,从该城市居民中随机抽取3人,记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为,求
的分布列与数学期望.
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计
的值(精确到0.01),并说明理由.
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【题目】过点P(﹣3,﹣4)作直线l,当l的斜率为何值时
(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?
(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?
(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在某一周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 3 | 0 |
(1)请将上表空格中的数据在答卷的相应位置上,并求函数f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)的图象上所有点向左平移 个单位后对应的函数为g(x),求当x∈[﹣
,
]时,函数y=g(x)的值域.
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