Question

【题目】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ． （Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A， 设袋中白球个数为x，则P（A）=1﹣ = ，
解得x=5，∴白球个数是5个．
（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）= = = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= ，
P（ξ=3）= = = ，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ= = ．
证明：（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，
由题意，得y= n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴ ，
记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P（B）= ，
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于 ，黑球个数少于 ，
故袋中红球个数最少
【解析】（Ⅰ）设袋中白球个数为x，由对立事件概率计算公式得：1﹣ = ，由此能求出白球个数．（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意，得y= n，从而2y＜n，2y≤n﹣1，进而 ，由此能证明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ．并得到袋中哪种颜色的球个数最少．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．