Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n，1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=2-bn，设C_n=

bn

an

求数列{C_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析：（1）等差数列中知道s_n求a_n，须分n=1与n≥2两种情况讨论，当n=1时符合n≥2时的结果则合，不符合合则分；
（2）由（1）求得a_n=2^n-1，又an2=2-bn可求得b_n=2-2n，又cn=

bn

an

=

2-2n

2n-1

可用错位相减法求c_n的前n项和T_n．

解答：解：（1）由题意2a_n=S_n+1，a_n＞0
当n=1时2a₁=a₁+1∴a₁=1
n≥2时，s_n=2a_n-1，s_n-1=2a_n-1-1
两式相减a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2）
整理得

an

an-1

=2（n≥2）（4分）
∴数列{a_n}1为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=a₁•2^n-1=1×2^n-1=2^n-1（5分）
（2）an2=2-bn=22n-2
∴b_n=2-2n（6分）
Cn=

bn

an

=

2-2n

2n-1

=

4-4n

2n

Tn =

0

2

+

-4

22

+

-8

23

+…+

8-4n

2n-1

+

4-4n

2n

①

1

2

Tn=

0

22

+

-4

23

+…+

8-4n

2n

+

4-4n

2n+1

②
①-②

1

2

Tn=-4(

1

22

+

1

23

+…

1

2n

)  -

4-4n

2n+1

（9分）
=-4•

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

4-4n

2n+1

=-2(1-

1

2n-1

)-

4-4n

2n+1

=

n+1

2n-1

-2（11分）
∴Tn=

n+1

2n-2

-4（12分）

点评：该题考查求数列的通项与数列求和．知道s_n求a_n求通项公式，分n=1与n≥2两种情况讨论，n=1符合n≥2时的结果，所以通项公式合为一个，等差数列与等比数列的乘积构成的数列的和用错位相减法，综合性强．