Question

15．设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P，Q关于直线x+my+4=0对称．
（1）求实数m的值；
（2）是否存在直线PQ，满足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0． 求得k的方程，然后求直线PQ的方程．

解答 解：（1）曲线方程为（x+1）²+（y-3）²=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（-1，3）在直线上．代入得m=-1．
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）＞0，得2-3$\sqrt{2}$＜b＜2+3$\sqrt{2}$．
由韦达定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=$\frac{{b}^{2}-6b+1}{2}$+4b．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3$\sqrt{2}$，2+3$\sqrt{2}$）．
∴所求的直线方程为y=-x+1．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题．