Question

已知直线方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．

解答：（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化为（x-2y-3）m=-2x-y-4．（3分）
由

x-2y-3=0 -2x-y-4=0

得

x=-1 y=-2

∴直线必过定点（-1，-2）．（6分）
（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|

2

k

-1|，OB=|k-2|，（8分）
S_△AOB=

1

2

•OA•OB=

1

2

|（

2

k

-1）（k-2）|=

1

2

|-

(k-2)2

k

|..（10分）
∵k＜0，∴-k＞0，
∴S_△AOB=

1

2

[-

(k-2)2

k

]=

1

2

[4+（-

4

k

）+（-k）]≥4．
当且仅当-

4

k

=-k，即k=-2时取等号．（13分）
∴△AOB的面积最小值是4，（14分）
直线的方程为y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）

点评：本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．