Question

13．已知O是坐标原点，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B，当$\frac{2}{3}≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤\frac{3}{4}$时，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，求出a，b，即可求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，知$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，联立直线与椭圆，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k²＞0，由此能推导出△AOB的面积S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$P（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\frac{2}{3}≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤\frac{3}{4}$，
∴$\frac{2}{3}$≤$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$≤k²≤1，
S=S_△ABO=$\sqrt{\frac{2（{k}^{4}+{k}^{2}）}{4（{k}^{4}+{k}^{2}）+1}}$，
 设u=k⁴+k²，则$\frac{3}{4}≤u≤2$，S=$\sqrt{\frac{2u}{4u+1}}$，u∈[$\frac{3}{4}$，2]，
∵S关于u在[$\frac{3}{4}$，2]单调递增，S（$\frac{3}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，S（2）=$\frac{2}{3}$，
∴△AOB的面积S的最大值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．