Question

17．已知P是双曲线$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上任意一点，M是圆（x+5）²+y²=1上任意一点，设P到双曲线的渐近线的距离为d，则d+|PM|的最小值为9．

Answer 1

分析 判断圆（x+5）²+y²=1的圆心正好是双曲线的左焦点F₁（-5，0），根据双曲线的定义结合数形结合进行转化求解即可．

解答 解：设双曲线的左，右焦点分别为F₁，F₂，
则圆（x+5）²+y²=1的圆心正好是双曲线的左焦点F₁（-5，0），
根据题意可得：d+|PM|≥d+|PF₁|-1=d+6+|PF₂|-1=d+|PF₂|+5，
结合图象可知d+|PF₂|的最小值为F₂到渐近线的距离，
因为F₂到渐近线的距离为4，
所以d+|PM|的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，利用数形结合以及双曲线的定义，进行转化是解决本题的关键．