Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8．
（1）求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；
（2）求平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结A1B，交AB1于点P，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是矩形，∴P是A1B的中点，

取AB的中点N，连结CN，PN，MP，

则NP∥CM，且NP=CM，∴四边形MCNP是平行四边形，

∴CN∥MP，

又AC=BC，∴CN⊥AB，

∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CN，

又AA1∥CC1，∴CN⊥AA1，

∴CN⊥平面A1ABB1，∴MP⊥平面A1ABB1，

∵MP平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面A1ABB1．

（2）解：以N为原点，NA为x轴，CN为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8，

∴A（3，0，0），M（0，﹣4，4），B1（﹣3，0，8），

=（﹣3，﹣4，4）， =（﹣6，0，8），

设平面AB1M的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=4，得 =（4，0，3），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

设平面AB1M与平面ABC所成二面角的平面角为θ，

则cosθ= = ，sinθ= = ．

∴平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值为 ．

【解析】（1）连结A1B，交AB1于点P，取AB的中点N，连结CN，PN，MP，推导出四边形MCNP是平行四边形，从而CN∥MP，进而CC1⊥CN，由AA1∥CC1 ， 知CN⊥AA1 ， 从而CN⊥平面A1ABB1 ， 进而MP⊥平面A1ABB1 ， 由此能证明平面AB1M⊥平面A1ABB1 ． （2）以N为原点，NA为x轴，CN为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．