Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．

解答：证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60⁰，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3，可知DE=3

6

，AF=

6

．
则A（3，0，0），F(3，0，

6

)，E(0，0，3

6

)，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=(0，-3，

6

)，

EF

=(3，0，-2

6

)．
设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则

n• BF =0 n• EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

．
令z=

6

，则n=(4，2， 

6

)．
因为AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，

CA

=(3，-3，0)．
所以cos?n，

CA

＞=

n• CA

|n|| CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．
因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为

13

13

．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则

AM

=(t-3，t，0)．
因为AM∥平面BEF，
所以

AM

•n=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当BM=

1

3

BD时，AM∥平面BEF．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．