Question

设x₁、x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x (a＞0)的两个极值点．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围；
（3）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，求函数g（x）=|f′（x）+2（x-x₂）|的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（1）利用导数与函数极值的关系列出关于a，b的不等式组是解决本题的关键，利用整体思想确定出f′（-2）的取值范围；
（2）建立b与x₁，x₂的关系是解决本题的关键．根据所得的函数表达式利用函数的单调性求出b的取值范围；
（3）写出函数g（x）的表达式是解决本题的关键，根据基本不等式求出函数的最大值h（a）．

解答：解：由已知：f'（x）=ax²+（b-1）x+1
故x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根
（1）由于x₁＜2＜x₂＜4故

f′ (2)＜0 f′ (4)＞0

即

4a+2b-1＜0① 16a+4b-3＞0  ②

由于f'（-2）=4a-2b+3
①×（-3）+②得：4a-2b＞0
∴f'（-2）＞3

（2）由韦达定理

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a ＞0

故1-b=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

即b=1-

1

x1

-

1

x2

当0＜x₁＜2时，则x1x2=

1

a

＞0得x2＞0
这时，由|x₂-x₁|=2得x₂=x₁+2
即b=1-(

1

x1

+

1

x1+2

)=1-

2(x1+1)

(x1+1)2-1

=1-

2

(x1+1)- 1 x1+1

为增函数（也可用求导法来证），
故b＜1-(

1

2

+

1

4

)=

1

4

当-2＜x₁＜0时，有x₁-x₂=2，则b=1-(

1

x1

+

1

x1-2

)也为增函数
故这时，b＞1-(

1

-2

+

1

-2-2

)=

7

4

综上，b的取值范围是(-∞，

1

4

)∪(

7

4

，+∞)

（3）∵a≥2，x₂-x₁=2故可设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
∴g（x）=|f'(x)+2(x-x2)|=|a(x-x2)(x-x1+

2

a

)|
∵x∈（x₁，x₂）∴x-x₂＜0，x-x₁＞0，x-x₁+

2

a

＞0
∴g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

x2-x1+ 2 a

2

]2=a+

1

a

+2
当且仅当x₂-x=x-x₁+

a

2

即x=

x1+x2

2

-

1

a

=x1+1-

1

a

等号成立．
∴h（a）=a+

1

a

+2a∈[2，+∞）．

点评：此题是个难题．本题属于函数与不等式的综合问题，利用导数的基本知识确定出相关的关系，列出相关的不等式进行综合转化．本题考查学生的转化与化归思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查导数的工具作用．