Question

（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；

   （2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。

Answer 1

命题意图本题主要考查圆的方程的表达形式及对称性的问题，可利用数形结合法，利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解.

知识依托  圆的方程，对称性，勾股定理

错解分析 题中没有注意到圆的对称只是改变圆的位置，圆的大小并不改变，不能选取特殊点来进行解题。

技巧与方法 先选准圆的方程的形式，利用数形结合，并能选特殊点进行对称

解：（1）法一：从数的角度

若选用标准式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x₀-5)²+(y₀-2)²=(x₀-3)²+(y₀-2)² 又2x₀-y₀-3=0

两方程联立得：，|PA|=   ∴ 圆标准方程为(x-4)²+(y-5)²=10

若选用一般式：设圆方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，则圆心（）

∴     解之得：

法二：从形的角度

AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5）

∴ 半径r=|PA|=    显然，充分利用平几知识明显降低了计算量

（2）    设A关于直线x+2y=0的对称点为A’

由已知AA’为圆的弦   ∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心

设圆心P（-2a，a），半径为R    ，则R=|PA|=(-2a-2)²+(a-3)²

又弦长，   ∴

∴ 4(a+1)²+(a-3)²=2+   ∴ a=-7或a=-3

当a=-7时，R=；当a=-3时，R= ∴ 所求圆方程为(x-6)²+(y+3)²=52或(x-14)²+(y+7)²=244