Question

1．已知a＞0，设函数f（x）=$\frac{201{5}^{x+1}+2013}{201{5}^{x}+1}$（x∈[-a，a]）的最大值为M，最小值为N，求M+N．

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{2}{201{5}^{x}+1}$，因为2015^x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．函数f（x）在[-a，a]上的最大值是f（a），最小值是f（-a）．所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=4030-g（a）-g（-a），由此能求出M+N的值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{201{5}^{x+1}+2013}{201{5}^{x}+1}$
=$\frac{2015（201{5}^{x}+1）-2}{201{5}^{x}+1}$=2015-$\frac{2}{201{5}^{x}+1}$（x∈[-a，a]），
设g（x）=$\frac{2}{201{5}^{x}+1}$，
则g（-x）=$\frac{2}{201{5}^{-x}+1}$=$\frac{2•201{5}^{x}}{1+201{5}^{x}}$，
即有g（-x）+g（x）=$\frac{2（1+201{5}^{x}）}{1+201{5}^{x}}$=2，
因为2015^x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．
函数f（x）在[-a，a]上的最小值是f（-a），最大值是f（a）．
所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=f（a）+f（-a）
=（2015-$\frac{2}{201{5}^{a}+1}$）+（2015-$\frac{2}{201{5}^{-a}+1}$）
=4030-（$\frac{2}{201{5}^{a}+1}$+$\frac{2}{201{5}^{-a}+1}$）
=4030-2
=4028．

点评 本题考查函数在闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，易错点是$\frac{2}{201{5}^{a}+1}$+$\frac{2}{201{5}^{-a}+1}$=2的化简运算方法不当导致出错．