Question

16．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x≥1时，e${\;}^{a（x-\frac{1}{x}）}$≥x，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，（x＞0）．对a分类讨论：a≤0，a＞0，利用导数研究函数的单调性．
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值，根据极限求出函数最值，应用了洛必达法则．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，（x＞0）．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f′（x）=$\frac{1-2a}{x}$，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$；令f′（x）＜0，解得x$＞\frac{1}{a}$．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{a}$），单调递减为（$\frac{1}{a}$，+∞）．
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间（0，$\frac{1}{a}$），单调递减为（$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）e${\;}^{a（x-\frac{1}{x}）}$≥x，
∴a（x-$\frac{1}{x}$）≥lnx，
当x=1时，恒成立，
当x＞1时，a≥$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$=$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，恒成立，
设g（x）=$\frac{xlnx}{{x}^{2}-1}$，
∴g′（x）=$\frac{-（{x}^{2}+1）lnx+{x}^{2}-1}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=1（增根）
当g′（x）＞0时，0＜x＜1，函数为增函数，
当g′（x）＜0时，x＞1，函数为减函数，
故当x→1时，函数g（x）有最大值，
根据洛必达法则，
$\underset{lim}{x→1}$g（x）=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{x+lnx}{2x}$=$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．