Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC₁，AB的中点．

（1）求证：CN⊥AB₁；
（2）求证：CN//平面AB₁M．

Answer 1

（1）如下（2）如下

试题分析：证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，

∴BB₁⊥平面ABC， ∴BB₁⊥CN．
∵AC=BC，N是AB的中点，∴CN⊥AB．
又∵AB∩BB₁=B，∴CN⊥平面AB B₁A₁，∴CN⊥AB₁．
（2）（方法一）连结A₁B交AB₁于P．∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴P是A₁B的中点．∵M，N分别是CC₁，AB的中点，
∴NP // CM，且NP = CM，∴四边形MCNP是平行四边形，
∴CN//MP．∵CN平面AB₁M，MP平面AB₁M，

∴CN //平面AB₁M．
（方法二）取BB₁中点P，连结NP，CP．
∵N，P分别是AB，BB₁的中点，∴NP //AB₁．
∵NP平面AB₁M，AB₁平面AB₁M，
∴NP //平面AB₁M．同理 CP //平面AB₁M．
∵CP∩NP =P，∴平面CNP //平面AB₁M．
∵CN平面CNP，∴CN //平面AB₁M．
点评：直线与平面平行、垂直的判定定理是常考知识点。在证明时，需结合定理的条件写，不可凭自己的主观意识去写。