Question

（Ⅰ）设f（x）=

f(x+2)(x＜4) ( 1 2 )x(x≥4)

，求f（1+log₂3）的值；

（Ⅱ）已知g（x）=ln[（m²-1）x²-（1-m）x+1]的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由1+log₂3∈（2，3），故f（1+log₂3）=f（3+log₂3），进而根据指数的运算性质，可得答案．
（II）若g（x）=ln[（m²-1）x²-（1-m）x+1]的定义域为R，则（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0（*）在x∈R时恒成立，分m²-1=0和m²-1≠0两种情况结合二次函数的图象和性质，可得满足条件的实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵1+log₂3∈（2，3），
∴f(1+log23)=f(3+log23)=(

1

2

)3+log23=(

1

2

)3×(

1

2

)log23=

1

8

×2log2

1

3

=

1

8

×

1

3

=

1

24

；
（Ⅱ）由题设得：（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0（*）在x∈R时恒成立，
若m²-1=0⇒m=±1，
当m=1时，（*）式可化为：1＞0恒成立，
当m=-1时，（*）式可化为：-2x+1＞0不恒成立，
∴m=1；
若m²-1≠0，
则

m2-1＞0 △=(1-m)2-4(m2-1)＜0

⇒

m＜-1或m＞1 m＜- 5 3 或m＞1

⇒m＜-

5

3

或m＞1
综上，实数m的取值范围是m＜-

5

3

或m≥1．

点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想的引入是解答的关键．