Question

实系数一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a，b）对应的区域的面积；
（2）

b-2

a-1

的取值范围；
（ 3）（a-1）²+（b-2）²的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC=

1

2

|BC|×yA=

1

2

×1×1=

1

2

，即为点（a，b）对应的区域的面积．

（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=

b-2

a-1

，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率
∵kAD=

2-1

1+3

=

1

4

，kCD=

2-0

1+1

=1，结合图形可知：kAD＜

b-2

a-1

＜kCD，
∴

b-2

a-1

的取值范围是(

1

4

，1)；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E，可得当E在C点时满足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在当E在A点满足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²取值范围为：（8，17）．