Question

下列四个关于函数f（x）命题：①如果函数f（x）是增函数，则方程f（x）=0一定有解；②如果函数f（x）是减函数，则方程f（x）=0至多有一个解；③如果函数f（x）是偶函数，则方程f（x）=0一定有偶数个解；④如果函数f（x）是奇函数，且方程f（x）=1有解，则方程f（x）=-1也有解；其中正确的命题是：________．

Answer 1

②④
分析：①可举反例，说明不正确
②结合减函数图象特征，进行判断
③结合偶函数的定义，进行判断
④结合奇函数的定义，进行判断
解答：①如果函数f（x）是增函数，其图象上升，但未必与x轴相交，即方程f（x）=0不一定有解，比如：函数y=x，（x＞0）．①不正确
②如果函数f（x）是减函数，其图象下降，与x轴至多相交于一点，不会多于两点，否则与单调性矛盾．②正确
③如果函数f（x）是偶函数，且x₀（≠0）是方程f（x）=0的解，即f（x₀）=0，则f（-x₀）=f（x₀）=0，∴-x₀也是方程f（x）=0的解，
特殊的若还有f（0）=0，则方程f（x）=0有奇数个解 ③不正确；
④如果函数f（x）是奇函数，且方程f（x）=1有解，不妨设x=x₀，则f（-x₀）=-f（x₀）=-1，∴方程f（x）=-1也有解-x₀．④正确
故答案为：②④．
点评：本题考查函数单调性，奇偶性，及其图象的特征，体现了数形结合的思想方法．