Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l过点P（-1，2），且倾斜角为

2π

3

，圆方程为ρ=2cos(θ+

π

3

)．
（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆交与M、N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，直线l的参数方程为

x=-1+t•cos 2π 3 y=2+t•sin 2π 3

，化简可得结果．
（2）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0，由根与系数的关系可得 t₁•t₂=6+2

3

，再由|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|求得结果．

解答：解：（1）直线l过点P（-1，2），且倾斜角为

2π

3

，故直线l的参数方程为

x=-1+t•cos 2π 3 y=2+t•sin 2π 3

，即 

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

(t为参数）．
 （2）圆方程 ρ=2cos(θ+

π

3

)=2（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ ），即ρ²=2（

1

2

ρ•cosθ-

3

2

ρ•sinθ）=ρ cosθ-

3

ρsinθ，
化为直角坐标方程为 (x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
把

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

代入 (x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1化简可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0．
设此一元二次方程式的两个根分别为 t₁和 t₂，则由根与系数的关系可得 t₁•t₂=6+2

3

．
由题意可得|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=6+2

3

．

点评：本题主要考查直线的参数方程，参数的几何意义，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．