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已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(  )
A、
2
3
3
B、
4
3
3
C、2
3
D、
8
3
3
分析:四面体ABCD的体积的最大值,AB与CD是对棱,必须垂直,确定球心的位置,即可求出体积的最大值.
解答:解:过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,
则有V四面体ABCD=
1
3
×2×
1
2
×2×h=
2
3
h

当直径通过AB与CD的中点时,hmax=2
22-12
=2
3
,故Vmax=
4
3
3

故选B.
点评:本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的三个顶点在半径为1的球面上,且AB=1,BC=
3
.若A、C两点的球面距离为
π
2
,则球心O到平面ABC的距离为(  )
A、
1
4
B、
2
2
C、
1
2
D、
3
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B是球心为O的球面上的两点,在空间直角坐标系中,他们的坐标分别为O(0,0,0)、A(
2
,-1,1)、B(0,
2
2
).
求(1)球的半径R (2)
OA
OB

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径   为多少时,圆锥的体积最大?

(2)圆锥内有一半球,球面与圆锥侧面相切,半球的底面在圆锥的底面上,已知半球半径为r,圆锥的母线与底面所成的角为θ,求当圆锥的体积V圆锥=f(θ)最小时,圆锥的高h的值.

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图1-1-4

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年云南师大附中高考适应性月考(七)理科数学试卷(解析版) 题型:选择题

已知在半径为2的球面上有四点,若,则四面体的体积的取值范围是

A.        B.        C.        D.

 

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