Question

13．已知△ABC满足∠B＞∠C，∠A的平分线和过顶点的高线、中线与边BC分别交与点L、H、D．证明∠HAL=∠DAL的充分必要条件是∠BAC=90°．

Answer 1

分析 先证充分性：当∠BAC=90°时，可以退出∠BAH=∠ACB=∠CAD，因此∠HAL=∠DAL；
再证必要性：过点C作CK⊥AC交CM的延长线于点K，可以推得A，B，C，K四点共圆．

解答 证明：先证充分性
∵∠BAC=90°，AH是高、AD是中线，
∴∠BAH=∠ACB=∠CAD，
∵AL是角平分线，∴∠BAL=∠CACL，
∴∠HAL=∠DAL；
再证必要性
过点C作CK⊥AC交CM的延长线于点K，
∵∠HAL=∠DAL，且∠BAL=∠CAL，
∴∠BAH=∠CAD，∴∠ABH=∠CKA，
∴A，B，C，K四点共圆，
∵∠ACK=90°，∴AK为圆的直径，
∵D是BC中点，∴BD=CD，即直径AK平分弦BC，且AK不垂直于BC，
∴BC也为圆的直径，∴∠BAC=90°．

点评 本题主要考查了平面几何问题的证明，涉及三角形的角平分线，中线，高，以及四点共圆，具有一定的综合性，属于难题．