Question

若x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由韦达定理可得

x1+x2=m x1x2=-2

，从而可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；从而可得|x₁-x₂|_max=3，从而化恒成立问题为a²-5a-3≥3，从而解得．

解答： 解：∵x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，
∴

x1+x2=m x1x2=-2

；
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；
∴当m∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_max=3；
故不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立可化为
a²-5a-3≥3；
解得a≥6或a≤-1．
故答案为：a≥6或a≤-1．

点评：本题考查了函数的性质应用及恒成立问题化为函数的最值问题处理的应用，属于中档题．