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a
b
c
都是单位向量,且
a
b
的夹角为
2
3
π
,则(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
的最小值为
-
1
2
-
1
2
分析:根据单位向量
a
b
的夹角为
2
3
π
算出
a
b
数量积,进而得到|
a
+
b
|=1
.由此结合向量数量积的运算性质得(
a
+
b
)•
c
|
a
+
b
|•|
c
|
=1,再将展开化简得(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
=
1
2
-(
a
+
b
)•
c
,因此可得(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
的最小值.
解答:解:∵单位向量
a
b
的夹角为
2
3
π
,∴
a
b
=|
a
|•|
b
|cos
2
3
π
=-
1
2

可得(
a
+
b
)2
=
a
2
+2
a
b
+
b
2
=1+2×(-
1
2
)+1=1
|
a
+
b
|=1

因此,(
a
+
b
)•
c
=|
a
+
b
|•|
c
|•cosθ
|
a
+
b
|•|
c
|
=1
(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
=
c
2
-(
a
+
b
c
+
a
b
=1-(
a
+
b
c
+(-
1
2
)=
1
2
-(
a
+
b
)•
c

(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
1
2
-1=-
1
2

当且仅当
a
+
b
c
共线方向相同时,(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
的最小值为-
1
2

故答案为:-
1
2
点评:本题给出3个单位向量中的两个夹角为
3
,求(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
的最小值.着重考查了平面向量数量积计算公式、模的计算公式及其运算性质等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

a
b
c
都是单位向量,且
a
b
=0,则(
a
+
b
)•(
b
+
c
)的最大值为
1+
2
1+
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列命题:
①y=1是幂函数;
②函数f(x)=2x-log2x的零点有1个;
③实数a=0.2 
2
,b=log 
2
0.2,c=
2
0.2
的大小关系是b<c<a.
④设
a
b
c
,是单位向量,且
a
b
=0,则(
a
-
c
)•(
b
-
c
)的最大值为1+
2
          
⑤函数y=x+
1
x-1
(x≥3)的最小值为3.
其中真命题的序号是
(把你认为正确命题的序号都填上).

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科目:高中数学 来源: 题型:

a
b
c
都是单位向量且
a
b
=0,则(
a
+
b
)•(
b
+
c
)的最大值为
1+
2
1+
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

a
b
c
都是单位向量,且
a
b
的夹角为
2
3
π
,则(
c
-
a
)•(
c
-
b
)
的最小值为______.

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