Question

设

a

，

b

，

c

都是单位向量，且

a

与

b

的夹角为

2

3

π，则(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值为

-

1

2

．

Answer 1

分析：根据单位向量

a

与

b

的夹角为

2

3

π算出

a

的

b

数量积，进而得到|

a

+

b

|=1．由此结合向量数量积的运算性质得(

a

+

b

)•

c

≤|

a

+

b

|•|

c

|=1，再将展开化简得(

c

-

a

)•(

c

-

b

)=

1

2

-(

a

+

b

)•

c

，因此可得(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值．

解答：解：∵单位向量

a

与

b

的夹角为

2

3

π，∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos

2

3

π=-

1

2

可得(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+2×（-

1

2

）+1=1
∴|

a

+

b

|=1
因此，(

a

+

b

)•

c

=|

a

+

b

|•|

c

|•cosθ≤|

a

+

b

|•|

c

|=1
∵(

c

-

a

)•(

c

-

b

)=

c

2-（

a

+

b

）•

c

+

a

•

b

=1-（

a

+

b

）•

c

+（-

1

2

）=

1

2

-(

a

+

b

)•

c

∴(

c

-

a

)•(

c

-

b

)≥

1

2

-1=-

1

2

，
当且仅当

a

+

b

与

c

共线方向相同时，(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值为-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题给出3个单位向量中的两个夹角为

2π

3

，求(

c

-

a

)•(

c

-

b

)的最小值．着重考查了平面向量数量积计算公式、模的计算公式及其运算性质等知识，属于中档题．