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在直角坐标系中,角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,函数f(x)=
OA
 • 
OB
,若f(x)≤f(
π
6
)
对x∈R恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的对称轴与单调递减区间.
分析:(1)利用向量的数量积公式,结合f(x)≤f(
π
6
)
对x∈R恒成立,确定函数的解析式;
(2)利用余弦函数的性质,即可求函数f(x)的对称轴与单调递减区间.
解答:解:(1)∵角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,
OA
=(cosφ,sinφ),
OB 
=(cos2x,sin2x)
f(x)=
OA
 • 
OB
=cosφcos2x+sinφsin2x=cos(2x-φ)
f(x)≤f(
π
6
)
对x∈R恒成立,
f(
π
6
)
=1,即cos(2×
π
6
-φ)=1
φ-
π
3
=2kπ

∴φ=2kπ+
π
3
,k∈Z
∴f(x)=cos[2x-(2kx+
π
3
)]=cos(2x-
π
3
),
即函数f(x)的解析式为f(x)=cos(2x-
π
3

(2)由(1)知,f(x)=cos(2x-
π
3
),
令2x-
π
3
=kπ,k∈Z,得x=
2
+
π
6
,k∈Z,
∴f(x)的对称轴为x=
2
+
π
6
,k∈Z,
∵2kπ≤2x-
π
3
≤2kπ+π
,k∈Z,
+
π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈Z,
点评:本题考查向量知识的运用,考查三角函数性质,考查学生计算能力,属于中档题.
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在直角坐标系中,角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,函数f(x)=
OA
 • 
OB
,若f(x)≤f(
π
6
)
对x∈R恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的对称轴与单调递减区间.

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在直角坐标系中,角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,函数,若对x∈R恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的对称轴与单调递减区间.

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