Question

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax-y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以 

|4m-29|

5

=5，由此能求了圆的方程．
（Ⅱ）把直线ax-y+5=0代入圆的方程，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为-

1

a

，l的方程为y=-

1

a

(x+2)+4，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数a=

3

4

使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以 

|4m-29|

5

=5，
即|4m-29|=25．因为m为整数，故m=1．
故所求圆的方程为（x-1）²+y²=25． …（4分）
（Ⅱ）把直线ax-y+5=0，即y=ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0，
由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即12a²-5a＞0，
由于a＞0，解得a＞

5

12

，
所以实数a的取值范围是（

5

12

，+∞）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为-

1

a

，
l的方程为y=-

1

a

(x+2)+4，
即x+ay+2-4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2-4a=0，解得a=

3

4

．
由于

3

4

∈(

5

12

，+∞)，故存在实数a=

3

4

使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在．对数学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．