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已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,所以 
|4m-29|
5
=5
,由此能求了圆的方程.
(Ⅱ)把直线ax-y+5=0代入圆的方程,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0,由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,由此能求出实数a的取值范围.
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为-
1
a
,l的方程为y=-
1
a
(x+2)+4
,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,由此推导出存在实数a=
3
4
使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.
解答:(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).
由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,
所以 
|4m-29|
5
=5

即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.
故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25. …(4分)
(Ⅱ)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,
代入圆的方程,消去y,
整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0,
由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,
故△=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,
即12a2-5a>0,
由于a>0,解得a>
5
12

所以实数a的取值范围是(
5
12
,+∞
).
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,
则直线l的斜率为-
1
a

l的方程为y=-
1
a
(x+2)+4

即x+ay+2-4a=0
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2-4a=0,解得a=
3
4

由于
3
4
∈(
5
12
,+∞)
,故存在实数a=
3
4

使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.…(14分)
点评:本题考查圆的方程的求法,考查实数的取值范围的求法,探索满足条件的实数是否存在.对数学思维要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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