Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M、N分别是A₁B₁，AB的中点，给出如下三个结论：①C₁M⊥平面ABB₁A₁；②A₁B⊥AM；③平面AMC₁∥平面CNB₁；其中正确结论的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁，知C₁M⊥AA₁，由B₁C₁=A₁C₁，M是A₁B₁的中点，
知C₁M⊥A₁B₁，故C₁M⊥平面ABB₁A₁；由C₁M⊥平面ABB₁A₁，AM?平面ABB₁A₁，知A₁B⊥C₁M，由AC₁⊥A₁B，AC₁∩C₁M=C₁，知A₁B⊥AM；由AM∥B₁N，C₁M∥CN，知平面AMC₁∥平面CNB₁．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁，
∴C₁M⊥AA₁，
∵B₁C₁=A₁C₁，M是A₁B₁的中点，
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁M⊥平面ABB₁A₁，故①正确．
∵C₁M⊥平面ABB₁A₁，AM?平面ABB₁A₁，
∴A₁B⊥C₁M，
∵AC₁⊥A₁B，AC₁∩C₁M=c₁，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM?平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM，即②正确；
∵由题设得到AM∥B₁N，C₁M∥CN，
∴平面AMC₁∥平面CNB₁，故③正确．
故选D．

点评：本题考查直线与平面垂直、直线与直线垂直、平面与平面平等的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．