Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，λc=2acosB（λ∈R）．
（I）当λ=1时，求证：A=B；
（II）若B=60°，2b²=3ac，求λ的值．

Answer 1

解：（I）当λ=1时，得到c=2acosB，即cosB=，
而cosB=，所以得到=，
化简得：a²+c²-b²=c²，即a=b，
∴A=B；
（II）根据余弦定理得：cos60°==，又2b²=3ac，得到b²=，
则a²+c²-=ac，化简得：（2a-c）（a-2c）=0，
解得a=或a=2c，
当a=时，由λc=2acosB，得到λ===；
当a=2c时，由λc=2acosB，得到λ===2，
综上，λ的值为或2．
分析：（I）把λ=1代入λc=2acosB中，表示出cosB，然后利用余弦定理表示出cosB，两者相等化简后，得到a等于b，根据等边对等角得到A等于B，得证；
（II）由条件2b²=3ac表示出b²，然后利用余弦定理表示出cosB，把B的度数和表示出的b²代入即可得到关于a与c的关系式，即可用c来表示出a，又λc=2acosB，把cosB和表示出的a代入即可求出λ的值．
点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握三角函数中的恒等变换的应用，是一道中档题．