Question

函数f（x）=|sin2x|+|cos2x|
（Ⅰ）求f（-

7π

12

）的值；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，求f（x）的取值范围；
（Ⅲ）我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f（x）的性质（本小题只需直接写出结论）

Answer 1

分析：（I）把所给的自变量的值代入函数式，根据诱导公式化简整理出结果．
（II）对函数式进行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根据所给的角的范围写出ωx+φ的范围，根据三角函数的图象得到函数的值域．
（III）根据上一问整理出的函数的解析式，得到函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等．

解答：解：（Ⅰ）f(-

7π

12

)= |sin(-

7π

6

)|+|cos(-

7π

6

)| = |sin

π

6

|+|-cos

π

6

| =

1+ 3

2

2分
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，2x∈[0，

π

2

]，则sin2x≥0，cos2x≥0…3分
∴f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)…5分
又∵x∈[0，

π

4

]
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]∴sin(2x+

π

4

)∈[

2

2

，1]
∴当x∈[0，

π

4

]时，f（x）的取值范围为[1，

2

]．　 …7分
（Ⅲ）①f（x）的定义域为R；　　　　　　　　　　　　…8分
②∵f（-x）=|sin（-2x）|+|cos（-2x）|=|sin2x|+|cos2x|=f（x）∴f（x）为偶函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　…9分
③∵f(x+

π

4

)= |sin(2x+

π

2

)|+|cos(2x+

π

2

)| = |cos2x|+|sin2x| =f(x)，
∴f（x）是周期为

π

4

的周期函数；　　　　　　　　　　…11分
④由（Ⅱ）可知，当x∈[0，

π

4

]时，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴值域为[1，

2

]．　　　　　　　　　　　　　　　…12分
⑤可作出f（x）图象，如图所示：
由图象可知f（x）的增区间为[

kπ

4

，

π

8

+

kπ

4

]（k∈Z），
减区间为[

π

8

+

kπ

4

，

π

4

+

kπ

4

]（k∈Z）          …14分

点评：本题考查三角函数的恒等变形及三角函数的性质，本题考查三角函数利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简，再进行三角函数的性质的运算．