Question

如图，正方体的棱长是a，C，D分别是两条棱的中点．
（1）证明四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求平面ABCD与平面MAB所成二面角大小的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面的基本性质及推论

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接EF，利用中位线及平行四边形的性质，易得到结论．
（2）由（1）的结论，四边形ABCD为一个梯形，根据已知中正方体的棱长为a，C，D分别是两条棱的中点，我们求出梯形的上底、下底及高，代入梯形面积公式即可得到答案；
（3）取DG的中点G，作DH⊥AB，垂足为H，连接GH，∠DHG为平面ABCD与平面MAB所成二面角．

解答： （1）证明：如图所示，连接EF，
∵C，D分别是两条棱的中点，
∴EF∥CD，且EF=2CD，
又∵四边形EFBA是平行四边形．
∴EF∥AB，EF=AB，
∴CD∥AB，AB=2CD，
∴四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形；
（2）解：如图所示，取AM的中点G，作DH⊥AB，垂足为H，连接GH，则
由AB=

2

a，知CD=

2

2

a，梯形的高为DH=

3

4

2

a
四边形的面积为

1

2

×（

2

a+

2

2

a）×

3

4

2

a=

9

8

a2；
（3）解：由（2）知，∠DHG为平面ABCD与平面MAB所成二面角．
∵DH=

3

4

2

a，DG=a，
∴sin∠DHG=

DG

DH

=

2 2

3

．

点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱的结构特征，其中根据棱柱的结构特征，确定AB∥CD，进而得到结论是解答本题的关键．