Question

18．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$，则λ-3μ=0．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$…①，$\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$…②
由①②得$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac{6}{5}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$⇒λ=$\frac{6}{5}$，$μ=\frac{2}{5}$

解答 解：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$…①，$\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$…②
由①②得$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\frac{6}{5}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$⇒λ=$\frac{6}{5}$，$μ=\frac{2}{5}$，∴λ-3μ=0，
故答案为：0

点评 本题考查了向量的线性运算，及方程思想，属于中档题．