Question

17．用数学归纳法证明2ⁿ+2＞n²（n≥3，n∈N）．

Answer 1

分析 根据数学归纳法的证明步骤：n=3时，原不等式显然成立；然后假设n=k时成立，即有2^k+2＞k²，然后证明n=k+1时成立即可，并且用上n=k时的不等式便有，左边=2^k+1+2=2•（2^k+2）-2＞2k²-2，右边=k²+2k+1，从而说明2k²-2＞k²+2k+1即可．

解答 证明：（1）n=3时，10＞9，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3，k∈N）时不等式成立，即2^k+2＞k²；
当n=k+1时：左边=2^k+1+2=2•（2^k+2）-2＞2k²-2；
右边=（k+1）²=k²+2k+1；
∵2k²-2-（k²+2k+1）=k²-2k-3=（k-3）（k+1）≥0；
∴2k²-2≥（k+1）²，k≥3，k∈N；
即当n=k+1时，2^k+1+2＞（k+1）²，不等式成立；
综上得，2ⁿ+2＞n²（n≥3，n∈N）．

点评 考查数学归纳法的概念，以及数学归纳法证明题的步骤，在证明n=k+1成立时，要想着用上n=k时得出的式子，作差比较法的应用．