Question

已知函数f（x）=-x+

1

x

（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明函数f（x）在（0，∞）是减函数；
（3）若f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断函数f（x）的定义是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，进而利用定义，可得函数f（x）的奇偶性；
（2）0＜x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂），并判断符号，进而根据函数单调性的定义得到函数f（x）在（0，∞）是减函数；
（3）若f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a），结合（2）中结论和指数函数的图象和性质，解不等式可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，
∴定义域关于原点对称
又∵f(-x)=-(-x)+(

1

-x

)=x-

1

x

=-(-x+

1

x

)=-f(x)
∴f（x）是奇函数…..（2分）
（2）设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(-x1+

1

x1

)-(-x2+

1

x2

)=x2-x1+

1

x1

-

1

x2

=

x1x2(x2-x1)

x1x2

+

x2-x1

x1x2

=

(x1x2+1)(x2-x1)

x1x2

∵x₁•x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，∞）是减函数…（7分）
（3）由（1）知f（x）在（0，∞）是减函数且3^2a+1＞0，（

1

3

）^4-a＞0，
∴f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a）可化为：3^2a+1＞（

1

3

）^4-a
即3^2a+1＞3^a-4，
即2a+1＞a-4，
解得a＞5，
所以实数a的取值范围为a＞5…..（13分）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，指数函数的图象和性质，是函数的图象和性质的综合应用，难度中档．