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设a>0,0≤x<2π,若函数y=cos2x-asinx+b的最大值为0,最小值为-4,试求a与b的值,并求使y取得最大值和最小值时的x值.
【答案】分析:通过同角三角函数的平方关系进行化简,然后进行配方法,对a分类0<a≤2,a>2讨论,结合函数的最值,求出a,b的值,从而得到解析式,最后求出相应最值时的x的值即可.
解答:解:f(x)=y=cos2x-asinx+b=-sin2x-asinx+b+1=-+
因为a>0所以-<0,
(ⅰ)当,即0<a≤2时ymax===0①ymin=f(1)=b-a=-4②
由①②解得 (舍去)
(ⅱ)当-,即a>2时ymax=f(-1)=a+b=0③ymin=f(1)=b-a=-4④
由③④解得 (舍去)
综上,
∴f(x)=cos2x-2sinx-2=-(sinx+1)2
时,y取得最小值;当时,y取得最大值
点评:本题主要考查了三角函数的最值,以及同角三角函数的关系和配方法,同时考查了分类讨论的数学思想.
练习册系列答案
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设A在x轴上,它到点P(0,
2
,3)
的距离等于到点Q(0,1,-1)的距离的两倍,那么A点的坐标是(  )
A、(1,0,0)和(-1,0,0)
B、(2,0,0)和(-2,0,0)
C、(
1
2
,0,0)和(-
1
2
,0,0)
D、(-
2
2
,0,0)和(
2
2
,0,0)

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