Question

18．已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（2，0），且圆心为M（1，m）（m＞0）的圆和圆C外切，也与直线l₁、l₂都相切．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆M的半径为r，圆M与都过点A（2，0）的相互垂直的两条直线l₁，l₂相切，则圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为$\sqrt{2}r$，列出方程组求出m，r，由此能求出圆M的方程．
（Ⅱ）设l₁方程为y=k（x-2），由直线与圆相切的性质及点到直线距离公式求出斜率k，由此能求出直线l₁的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆M的半径为r，圆M与都过点A（2，0）的相互垂直的两条直线l₁，l₂相切，
则圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为$\sqrt{2}r$，
则$\left\{\begin{array}{l}{|MA{|}^{2}=（1-2）^{2}+{m}^{2}=2{r}^{2}}\\{|MC{|}^{2}=（1+2）^{2}+{m}^{2}=（2+r）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$r=2，m=\sqrt{7}$，
故圆M的方程为（x-1）²+（y-$\sqrt{7}$）²=4．
（Ⅱ）由题意直线l₁的斜率存在，设斜率为k，则l₁方程为y=k（x-2），
则圆心M到直线l₁的距离为$\frac{|k（1-2）-\sqrt{7}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴3k²-2$\sqrt{7}$k-3=0，解得k=$\frac{\sqrt{7}±4}{3}$，
∴l₁的方程为$y=\frac{\sqrt{7}+4}{3}（x-2）$或y=$\frac{\sqrt{7}-4}{3}（x-2）$．

点评 本题考查圆的方程和直线方程的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．