Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD的中点．

(1)求证D₁E⊥平面AB₁F;

(2)求二面角C₁-EF-A的大小(结果用反三角函数值表示)．

Answer 1

解：(1)连结A₁B，则D₁E在侧面ABB₁A₁上的射影是A₁B，又∵A₁B⊥AB₁，∴D₁E⊥AB₁， 

连结DE，∵D₁E在底面ABCD上的射影是DE，E，F均为中点，

∴DE⊥AF，∴D₁E⊥AF

∴D₁E⊥平面AB₁F 

(2)∵C₁C⊥平面EFA，连结AC交EF于H，

则AH上EF， 

连结C₁H，则C₁H在底面ABCD上的射影是CH，

∴C₁H⊥EF 

∴∠C₁HA为二面角C₁-EF-A的平面角，它是∠C₁HC的邻补角.

在Rt△C₁CH中，∵C_lC=1，CH=AC=,

∴tan∠C₁HC=.

∴∠C₁HC=arctan，

∴∠C₁HA=π-arctan

另解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0，0,0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A₁(0，0，1)，6，(1，0，1)，E(1，，0)，

F(1，0)，D₁(0，1，1). 

∴ (1，，-1)，=(1，0，1)

∴·=1-1=0，∴⊥.

_又=(，1，0)，

∴·=-，∵D₁E⊥AF.

∴D₁E⊥平面AB₁F

(2)∵C₁C⊥平面EFA，连结AC交EF于H，则AH⊥EF，

C₁H在底面ABCD上的射影是CH，∴C₁H⊥EF

∴∠C₁HA为二面角C₁-EF-A的平面角.

∵C₁(1，1，1)，H(，，0)

=(,,1),=(,,0) 

cos〈,〉==

∴∠C₁HA=π-arccos