已知数列{an}满足:a1++ +…+=n2+2n(其中常数λ>0,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列?若存在,给出r,s,t满足的条件;若不存在,说明理由;
(3)设Sn为数列{an}的前n项和.若对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)an=(2n+1)·λn-1 (n∈N*).(2)不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.(3)当0<λ<1时,结论成立.
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式以及数列的求和、和不等式的成立的证明综合运用。
(1)根据已知条件可知利用前n项和与通项公式之间的关系得到通项公式。
(2)因为当λ=4时,an=(2n+1)·4n-1.
若存在ar,as,at成等比数列,则[(2r+1) ·4r-1] [(2t+1) ·4t-1]=(2s+1)2 ·42s-2.
整理得(2r+1) (2t+1) 4 r+t -2s=(2s+1)2,可以判定为等比数列。
(3)因为Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1.,需要对于参数λ分情况讨论得到和式的求解,以及不等式的证明。
科目:高中数学 来源: 题型:
3+4an |
12-4an |
1 | ||
an-
|
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科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
2 |
3nan-1 |
2an-1+n-1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
5 | 4 |
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