Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₄•a₇=15，a₃+a₈=8
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

an

3n-1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的性质和题意得

a4•a7=15 a4+a7=8

，求出a₄=3、a₇=5，利用等差数列的性质、通项公式求出公差d、a₁，代入等差数列的通项公式求出通项；
（2）由（1）和题意求出b_n，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由题意得，a₄•a₇=15，a₃+a₈=8，则

a4•a7=15 a4+a7=8

，
又等差数列{a_n}是递增数列，则解得a₄=3，a₇=5，
所以d=

a7-a4

7-4

=

2

3

，且a₄=a₁+3d，解得a₁=1，
则a_n=a₁+（n-1）d=

2n+1

3

；
（2）由（1）得，b_n=

an

3n-1

=

2n+1

3n

，
所以S_n=

3

31

+

5

32

+

7

33

+…+

2n+1

3n

，①

1

3

S_n=

3

32

+

5

33

+

7

34

+…+

2n+1

3n+1

，②
①-②得，

2

3

Sn=1+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

=

4

3

-

2n+4

3n+1

，
所以S_n=2-

n+2

3n

．

点评：本题考查等差数列的性质、通项公式，等比数列前n项公式，数列求和方法：错位相减法求和，考查化简、运算能力，属于中档题．