Question

设数列S₁，S₂，…是一个严格递增的正整数数列．
（1）若是该数列的其中两项，求证：；
（2）若该数列的两个子数列和都是等差数列，求证：这两个子数列的公差相等；
（3）若（2）中的公差为1，求证：，并证明数列{S_n}也是等差数列．

Answer 1

解：（1）证明：由条件知：．
（2）设两子数列的首项分别为a，b，公差分别为d₁，d₂．
∵
∴a+（k-1）d₁＜b+（k-1）d₂≤a+kd₁
即a-b＜（k-1）（d₂-d₁）≤a-b+d₁
上式左，右端皆为常数，中间的k∈N，故必须d₂-d₁=0，
∴d₁=d₂
（3）∵公差为1，∴．
又数列{S_n}是严格递增的正整数数列，
∴
∴
又由（1）知∴．
故S_k+1=S_k+1（k∈N），即数列{S_n}是公差为1的等差数列．
分析：（1）由题设条件知：．
（2）设两子数列的首项分别为a，b，公差分别为d₁，d₂．由题设知a-b＜（k-1）（d₂-d₁）≤a-b+d₁，由此可知d₁=d₂
（3）由题设知．数列{S_n}是严格递增的正整数数列，所以，由此能够导出S_k+1=S_k+1，故数列{S_n}是公差为1的等差数列．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．