Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|．

（1）当a=1 时，求不等式f（x）≤5的解集；

（2）x0∈R，f（x0）≤|2a+1|，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得f（x）最小值，再解不等式得a的取值范围.

（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x+2|；

①当x≤﹣2时，f（x）=﹣2x﹣1；

令f（x）≤5，即﹣2x﹣1≤5，解得﹣3≤x≤﹣2；

②当﹣2＜x＜1时，f（x）=3；

显然f（x）≤5成立，∴﹣2＜x＜1；

③当x≥1时，f（x）=2x+1；

令f（x）≤5，即2x+1≤5，解得1≤x≤2；

综上所述，不等式的解集为{x|﹣3≤x≤2}；

（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x+2|≥|（x﹣a）﹣（x+2）|=|a+2|；

又x0∈R，有f（x）≤|2a+1|成立；

所以只需|a+2|≤|2a+1|；

∴（a+2）2≤（2a+1）2；

化简可得a2﹣1≥0，解得a≤﹣1，或a≥1；

∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．