Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，且数列{a_n}的前n项和S_n满足4S_n+1-3S_n=4，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{na_n}的前n项和为T_n，若不等式Tn+(

3

4

)n•

a

n

-16＜0对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用4S_n+1-3S_n=4，推出

an+1

an

是常数，然后已知

a2

a1

，即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{na_n}的前n项和为T_n，化简不等式Tn+(

3

4

)n•

a

n

-16＜0，通过对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵已知4Sn+1-3Sn=4，n∈N*，∴n≥2时，4S_n-3S_n-1=4．
相减得4a_n+1-3a_n=0、又易知a_n≠0，∴

an+1

an

=

3

4

．             …（4分）
又由4Sn+1-3Sn=4，n∈N*得4（a₁+a₂）-3a₁=4，∴a2=

3

4

，∴

a2

a1

=

3

4

．
故数列{a_n}是等比数列． …（5分）
（2）由（1）知an=1×(

3

4

)n-1=(

3

4

)n-1．      …（6分）
∴Tn=1×(

3

4

)0+2×(

3

4

)1+…+n×(

3

4

)n-1，
∴

3

4

Tn=1×(

3

4

)1+2×(

3

4

)2+…+n×(

3

4

)n．
相减得

1

4

Tn=1+

3

4

+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-1-n×(

3

4

)n=

1-( 3 4 )n

1- 3 4

-n×(

3

4

)n，
∴Tn=16-16×(

3

4

)n-4n×(

3

4

)n，…（8分）
∴不等式Tn+(

3

4

)n×

a

n

-16＜0
为16-16×(

3

4

)n-4n×(

3

4

)n+(

3

4

)n×

a

n

-16＜0．
化简得4n²+16n＞a．
设f（n）=4n²+16n，
∵n∈N^*∴f（n）_min=f（1）=20．
故所求实数a的取值范围是（-∞，20）．              …（10分）

点评：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．