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已知点M是圆C:x2+y2=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足NH=MH,记动点N的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)设出动点M和N的坐标,由题意把M的坐标用N的坐标表示,代入圆的方程即可得到答案;
(Ⅱ)由题意设出直线AB的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到A,B两点的横坐标的和与差,由弦长公式得到k和m的关系,由点O到AB的距离公式求出距离,代入面积公式后利用配方法求最值.
解答:(Ⅰ)解:(Ⅰ)设N(x,y),M(x′,y′),则由已知得,x′=x,
代入x2+y2=2得,x2+2y2=2.
所以曲线E的方程为
(Ⅱ)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,则弦AB不能与x轴垂直,故
可设直线AB的方程为y=kx+m
,消去y,并整理,得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
又△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0
所以,
因为|AB|=2,
所以,即
所以,即
因为1+k2≥1,所以.                
又点O到直线AB的距离
因为S=
所以S2=h2=2m2(1-m2)=
所以,即S的最大值为
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理的能力,属压轴题.
练习册系列答案
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2
2
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